¿Qué número sigue? (Parte 2)

x Carlos Tovar

Hace unos días publiqué un post sobre series numéricas indicando que podría haber infinitas soluciones a las típicas preguntas sobre “¿qué número sigue?”.

Quisiera explicar brevemente cómo obtuve la fórmula en cuestión, que a simple vista luce algo complicada. Veamos el “método a lo bruto” para obtener una fórmula que cumpla con reproducir cada término de una serie de acuerdo a la posición que tenga en la serie.

La serie en cuestión era:

T1 = 1
T2 = 2
T3 = 6
T4 = 42
T5 = 1806

Y la fórmula, distinta de la obvia, fue:

La idea que usé es expresar cualquier término como el producto de un determinado número de factores. Luego será evidente que el máximo número de factores será igual al número de los términos mostrados.

En el caso en concreto, es fácil notar que los primeros tres términos se pueden expresar como factorial de 1, 2 y 3, respectivamente. Es decir, si la serie terminara en el término 3, la fórmula sería:

Tn = n! …… (1)

Como tiene más términos, sin embargo, la fórmula se complejiza. Empecemos considerando el término 4. Para reproducirlo la fórmula, basada en el método con factores que uso, debería ser tal que:

Tn = n! A

Salta a la vista es que cuando n tome el valor de 1, 2 y 3, A debe ser 1, de manera tal que:

T1 = 1! A = 1! = 1xA = 1
T2 = 2! A = 1! = 1x2xA = 2
T3 = 3! A = 1! = 1x2x3xA = 6

Eso se resuelve expresando tanto A como potencia de un número r (ver fórmula abajo), de manera tal que r sea 0, y en consecuencia A sea 1, si n toma los valores de 1, 2 y 3.

Eso se logra fácilmente, expresando r = (n-1)(n-2)(n-3). Es fácil notar que para los valores de n = 1, 2 y 3 r será 0, y consecuentemente A será 1.

Nuestra fórmula sería:




Según esta fórmula:





Pero el cuarto término será






Pero sabemos que eso debe dar 42. Ello nos permite hallar el valor de “a”.





Regresando a la fórmula (2)




Que es lo mismo que



Buscando que “luzca mejor”…




La fórmula (3) nos permite expresar los primeros 4 términos, pero no el término 5. Lo único que tenemos que hacer es repetir el proceso.




Donde B

En este caso, B debe ser 1 para n = 1, 2, 3 y 4. Es decir s deberá ser igual a (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) de manera tal que para los valores de 1, 2, 3 y 4, s será 0.




El resto sigue el mismo procedimiento que usamos para hallar A. Es decir:




El lector podrá fácilmente demostrar que B puede expresarse:




De manera tal que la fórmula es:

¿Qué número sigue?

Hace unas pocas semanas recibí un email en el cual preguntaban ¿Cuál es el sexto número de la siguiente serie 1, 2, 6, 42, 1806, ….? Algunos se apresuraron en responder y dar "la respuesta", ignorando, sin embargo, que este tipo de series tiene un problema: no tiene una sola solución, puede tener infinitas soluciones.

La supuesta respuesta es fácil de hallar. Los números seguirían la siguiente regla de formación:
T1 = 1
T2 = 1x(1+1) = 2
T3 = 2x(2+1) = 6
T4 = 6x(6+1) = 42
T5 = 42x(42+1) = 1806

Según esa regla, el número que sigue sería: 1806x(1806+1). Es decir, style="color:#000066;">3263442.
¿Pero es eso cierto? ¿Es ése el número que sigue? La respuesta es no. Es, tal vez, el más obvio, pero no “EL número que sigue”. Pueden haber varios resultados, infinitos para ser más precisos.

Veamos primero un ejemplo simple. ¿Cuál es el quinto número de la siguiente serie? 1, 2, 3, 4 …. La respuesta obvia es 5, si para el término de lugar “n”, es decir, Tn, el valor es ”n”.

El valor de 5, sin embargo, no es el único resultado posible. El término de lugar 5 puede ser 29. En este caso la regla de formación es:

Tn = n +(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4).

En este caso para:
n =1, se tiene T1 = 1
n=2, se tiene T2 = 2
n=3, se tiene T3 = 3
n=4, se tiene T4 = 4
n=5, el resultado es T5= 5+4x3x2x1 = 29.

Puede ser 80 también si se quiere, basta decir que la regla de formación sea:

Tn = n +(25/8)x(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4).

El número que sigue puede ser cualquiera, el que yo quiera. Sólo basta cambiar el factor que antecede a los productos (n-i).

Volvamos a la serie inicial 1, 2, 6, 42, 1806, …. Esta serie es más compleja pero no quiere decir que no tenga una regla de formación distinta de la “obvia”. Es decir, de aquella que arroja como resultado 3263442, el cual es, en realidad, un resultado trivial.

Una de las infinitas reglas de formación de la serie puede ser:

Donde n! es factorial de n, de tal forma que n!=1x2x3x...(n-1)x(n). Así, la fórmula cumple perfectamente con:

T1=1
T2 = 2
T3= 6
T4=42
T5=1806

Pero, con esa fórmula, T6 no es 3'263,442 sino 2'063,642.72.