¿Qué número sigue? (Parte 2)

x Carlos Tovar

Hace unos días publiqué un post sobre series numéricas indicando que podría haber infinitas soluciones a las típicas preguntas sobre “¿qué número sigue?”.

Quisiera explicar brevemente cómo obtuve la fórmula en cuestión, que a simple vista luce algo complicada. Veamos el “método a lo bruto” para obtener una fórmula que cumpla con reproducir cada término de una serie de acuerdo a la posición que tenga en la serie.

La serie en cuestión era:

T1 = 1
T2 = 2
T3 = 6
T4 = 42
T5 = 1806

Y la fórmula, distinta de la obvia, fue:

La idea que usé es expresar cualquier término como el producto de un determinado número de factores. Luego será evidente que el máximo número de factores será igual al número de los términos mostrados.

En el caso en concreto, es fácil notar que los primeros tres términos se pueden expresar como factorial de 1, 2 y 3, respectivamente. Es decir, si la serie terminara en el término 3, la fórmula sería:

Tn = n! …… (1)

Como tiene más términos, sin embargo, la fórmula se complejiza. Empecemos considerando el término 4. Para reproducirlo la fórmula, basada en el método con factores que uso, debería ser tal que:

Tn = n! A

Salta a la vista es que cuando n tome el valor de 1, 2 y 3, A debe ser 1, de manera tal que:

T1 = 1! A = 1! = 1xA = 1
T2 = 2! A = 1! = 1x2xA = 2
T3 = 3! A = 1! = 1x2x3xA = 6

Eso se resuelve expresando tanto A como potencia de un número r (ver fórmula abajo), de manera tal que r sea 0, y en consecuencia A sea 1, si n toma los valores de 1, 2 y 3.

Eso se logra fácilmente, expresando r = (n-1)(n-2)(n-3). Es fácil notar que para los valores de n = 1, 2 y 3 r será 0, y consecuentemente A será 1.

Nuestra fórmula sería:




Según esta fórmula:





Pero el cuarto término será






Pero sabemos que eso debe dar 42. Ello nos permite hallar el valor de “a”.





Regresando a la fórmula (2)




Que es lo mismo que



Buscando que “luzca mejor”…




La fórmula (3) nos permite expresar los primeros 4 términos, pero no el término 5. Lo único que tenemos que hacer es repetir el proceso.




Donde B

En este caso, B debe ser 1 para n = 1, 2, 3 y 4. Es decir s deberá ser igual a (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) de manera tal que para los valores de 1, 2, 3 y 4, s será 0.




El resto sigue el mismo procedimiento que usamos para hallar A. Es decir:




El lector podrá fácilmente demostrar que B puede expresarse:




De manera tal que la fórmula es: